عرض مصدر الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم للأساس a

== دالة اللوغاريتم للأساس <math>a</math> ==
{{تعريف|محتوى=
ليكن <math>a</math> عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف <math>1</math>

الدالة <math>x \mapsto \frac{\ln x}{\ln a}</math> المعرفة على <math>]0,+ \infty[</math> تسمى '''دالة اللوغاريتم للأساس <math>a</math>''' ، ويُرمز لها بالرمز <math>\log_a</math>
}}

'''مثال''' : لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math> لدينا : <math>\log_7 (x)=\frac{\ln x}{\ln 7}</math>

'''ملاحظات''' :

* دالة اللوغاريتم النيبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس <math>e</math> لأن : <math>\log_e x = \frac{\ln x}{\ln e}=\frac{\ln x}{1}=\ln x</math> لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math>
* <math>\log_a a=1</math> و <math>\log_a 1=0</math>
* لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math> لدينا : <math>\log_a'(x)=\frac{1}{x \ln a}</math>
* إذا كان <math>a>1</math> فإن الدالة <math>\log_a</math> تزايدية قطعا على <math>\mathbb{R}^{+*}</math> ، وإذا كان <math>0<a<1</math> فإن الدالة <math>\log_a</math> تناقصية قطعا على <math>\mathbb{R}^{+*}</math>
{{خاصية|محتوى=
لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا <math>x</math> و <math>y</math> ولكل عدد جذري غير منعدم <math>r</math> لدينا :

<math>\begin{align}
\log_a \left(\frac{1}{x} \right)&=-\log_a(x) \qquad & \log_a(xy)&=\log_a(x)+\log_a(y) \\
\log_a(x^r) &= r \log_a(x)  \qquad & \log_a \left(\frac{x}{y} \right)&=\log_a(x)-\log_a(y)
\end{align}</math>
}}

=== اللوغاريتم العشري ===
{{تعريف|محتوى=
الدالة اللوغاريتمية التي أساسها <math>10</math> تسمى '''دالة اللوغاريتم العشري''' ويُرمز لها بالرمز <math>\log</math>
}}

'''ملاحظات''' :

* لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math> : <math>\log(x)=\frac{\ln x}{\ln 10}</math>
* <math>\log 1 = 0</math> و <math>\log 10 = 1</math>
* لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math> ولكل <math>r</math> من <math>\mathbb{Q}</math> : <math>\log (x) = r \iff x = 10^r</math>

في الكيمياء، يُعَرَّف <math>\mathrm{pH}</math> محلول بالعلاقة <math>\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]</math> حيث <math>[\mathrm{H}^+]</math> يمثل تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.

{{ذيل الصفحة|الرئيسية={{#titleparts: {{ FULLPAGENAME }} | 1 }}|السابق=الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم النيبيري}}

[[تصنيف:تحليل رياضي]]
[[تصنيف:كلية علوم الرياضيات]]