الدوال الأسية/الدالة الأسية للأساس a

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من ${ℝ}^{+*}\setminus \{1\}$ ، الدالة ${\log }_a$ تقابل من ${ℝ}^{+*}$ نحو $ℝ$ قالب:تعريف

كتابة أخرى للعدد ${\exp }_a(x)$

• لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من ${ℝ}^{+*}$ ، لدينا :

$\begin{array}{cc}x={\log }_a(y)& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ x=\frac{\ln y}{\ln a}& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ \ln y=x\ln a& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ y=e^{x\ln a}& ⟺{\exp }_a(x)=y\end{array}$ إذن ${\exp }_a=e^{x\ln a}$ لكل $x$ من $ℝ$

• ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$. لكل $r$ من $\mathbb{Q}$ لدينا ${\exp }_a(r)=e^{r\ln a}={\left(e^{\ln a}\right)}^r$ أي : ${\exp }_a(r)=a^r$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $ℝ$ : ${\exp }_a(x)=a^x$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^x$ اعتبار الحالة $a=1$ فيكون لدينا : $1^x=1$ لكل $x$ من $ℝ$

مشتقة الدالة ${\exp }_a$

ملاحظة : إذا كان $a>1$ فإن الدالة ${\exp }_a$ تزايدية قطعا على $ℝ$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة ${\exp }_a$ تناقصية قطعا على $ℝ$