الدوال الأسية/الدالة الأسية النيبيرية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من ${ℝ}^{+*}$ نحو $ℝ$ قالب:تعريف ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln (\exp (r))=r$ ونعلم أن : $\ln (e^r)=r\ln e=r$ إذن : $\ln (\exp (r))=\ln (e^r)$

وبالتالي : $\exp (r)=e^r$ لكل $r$ من $\mathbb{Q}$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $ℝ$ فنكتب : $\exp (x)=e^x$ لكل $x$ من $ℝ$ . قالب:لازمة

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

• بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$ )
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$ )
• المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

قالب:خاصية ${\exp }^{\prime }=\exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^x\simeq x+1$ بجوار $0$