فضاء احتمالي/الاحتمال في فضاء منته - التعداد

الاحتمال في فضاء منته - التعداد

تعريف

في هذه الفقرة، نفترض أن الفضاء الاحتمالي $\mathrm{\Omega }$ منتهي. في هذه الحالة، نختار دائما : $𝒜=𝒫(\mathrm{\Omega })$ قالب:تعريف بما أن مجموعة المجموعات الأحادية قالب:ترجمة مصطلح $\{\omega \}$ لكل $\omega$ من $\mathrm{\Omega }$ هي تجزئة قالب:ترجمة مصطلح منتهية للمجموعة $\mathrm{\Omega }$ ، فلدينا الخاصية الأساسية الآتية.

قالب:خاصية ملاحظة : المجاميع في المعادلة الأخيرة مجاميع منتهية، لأن $\mathrm{\Omega }$ ، وبالتالي $A$ ، ذو أصلي (أو رئيسي) قالب:ترجمة مصطلح منته. قالب:برهنة مثال : قانون برنولي (أو توزيع برنولي) قالب:ترجمة مصطلح ذو المعامل $p\in [0,1]$

يحتوى الفضاء $\mathrm{\Omega }$ على عُنصرين : $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$ و $p_{{\omega }_1}=p;p_{{\omega }_2}=1-p$

يُستعمل هذا الاحتمال بالخصوص في احتمال سقوط قطعة نقدية على الوجه الذي يحمل الكتابة الذيل $P$ (أو الصورة الرأس $F$).

التوزيع المنتظم

التوزيع المنتظم المتقطع (أو الاحتمال المنتظم) قالب:ترجمة مصطلح هو من أهم أمثلة الاحتمال في فضاء حوادث $\mathrm{\Omega }$ منته. في هذا التوزيع يكون لكل مجموعة أُحادية من $\mathrm{\Omega }$ نفس احتمال التحقق. قالب:تعريف

إذا كان

$\mathbb{P}$

احتمالا منتظما، فإننا نستنتج أن

$\mathbb{P}(A)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)}{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })}$

بحيث يُمثل الاحتمال في هذه الحالة تِعدادا قالب:ترجمة مصطلح : نحن هنا في إطار الحساب التوافيقي قالب:ترجمة مصطلح.

ملاحظتان :

• في فضاء منته $\mathrm{\Omega }$ ، يوجد احتمال منتظم وحيد.
• الاحتمال المنتظم يصف رياضيا المفهوم الحدسي للحظ : سحب بطاقة عشوائية، رمي نرد، اختيار عينة عشوائية من مجتمع قالب:ترجمة مصطلح.

نماذج السحب

عند حساب الاحتمالات المنتظمة، من الضروري جدا توضيح الفضاء الاحتمالي المُرتبط به. سنرى أهمية هذه الملاحظة في الفقرة الحالية، حيث سنطرح نماذج سحب الكرات من صندوق.

هذه النماذج لها تطبيقات عديدة. على سبيل المثال : سحب عينات من مجتمع عربي للقيام باستفتاء حول آراء سياسية.

النموذج العام هو التالي : يحتوي صندوق على $N$ كرة ذوات $k$ لون، موزعة عن $N_1$ كرة ذات اللون $1$ ، $N_2$ كرة ذات اللون $2$ ، ... ، $N_k$ كرة ذات اللون $k$ . نُسمي $p_i=\frac{N_i}{N}$ نسبة الكرات ذات اللون $i$ .

نسحب عشوائيا $n$ كرة من الصندوق $(n\le N)$. الهدف هو تحديد توزيع الألوان في العينة المُختارة.

نرمز بـ $P_{n_1{n}_2...n_k}$ إلى احتمال الحصول على $n_1$ كرة ذات اللون $1$ ، $n_2$ كرة ذات اللون $2$ ، ... ، $n_k$ كرة ذات اللون $k$ ، بحيث $n_1+n_2+\dots +n_k=n$

نعتبر ثلاث طرق في سحب الكرات. كل طريقة في السحب ستُعطِي طريقة حساب للاحتمال مختلفة ونتائج مختلفة :

• السحب بإحلال، أو السحب بإرجاع قالب:ترجمة مصطلح
• السحب بدون إحلال، أو السحب بدون إرجاع قالب:ترجمة مصطلح
• السحب الآني، أو السحب تآنيا قالب:ترجمة مصطلح

ملاحظة : في كل جمع للبيانات الإحصائية، تُطرح دائما مسألة\إشكالية طريقة سحب العينة.

السحب الآني - التوزيع الفوق هندسي

نسحب جميع الكرات في آن واحد.

السحب بإرجاع - التوزيع ثنائي الحدين

نسحب الكرات الواحدة تلو الأخرى. نُعيد الكرة المختارة قبل سحب الكرة التالية.

السحب بدون إرجاع

نسحب الكرات الواحدة تلو الأخرى، دون إرجاعها إلى الصندوق.

حالة صندوق عدد كراته لا منتهي

نعتبر نفس فرضيات السحب الآني. نفترض أن عدد الألوان يساوي $2$.