قالب:النهاية المنتهية عند نقطة/العرض

مثال للفهم

النهاية المنتهية لدالة عدد حقيقي قد ينتمي إلى مجموعة تعريفها و قد لا يكون . نقول إن الدالة $f(x)$ تقبل نهاية $l$ عند $a$ يعني: أن الدالة $f(x)$ تقترب من نهايتها $l$ كلما اقترب المتغير من $a$ بتعبير رياضي نقول :
عندما يؤول $x$ نحو $a$ فإن $f(x)$ تؤول نحو $l$ . ونكتب $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$

مثال: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x)}{x}=1$

التعريف بالمكممات

يسمى أيضا في لغة التلاميذ التعريف بالإبسلونات:

كلما اقترب $x$ من $p$ بفرق قيمته المطلقة أقل من $\delta$ فان $f(x)$ تقترب من $l$ و تكون القيمة المطلقة للفرق بينهما أصغر من$\epsilon$

الدالة $f$ تقبل نهاية $l$ عند $p$إذا و فقط إذا:
$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0,\mathrm{\forall }x\in ]p-{\delta }_{\epsilon },p+{\delta }_{\epsilon }[\cap 𝒟,|f(x)-l|\le \epsilon$
$\epsilon$ عدد صغير جدا
$\delta$ عدد صغير جدا